Pembahasan Kuis Kalkulus 3 dan Kalkulus 1

PEMBAHASAN KUIS KALKULUS 3

Dosen : Yusmia Widiastuti, SP, MM

1. Diketahui f(x) = x² +5x – 5

a. Cari luas kurva f(x) = x² +5x – 5 bila dibatasi oleh x = 0 dan x = 5

PEMBAHASAN :

langkah selanjutnya sama dengan aplikasi integral tertentu yang sudah dibahas di kalkulus 2

b. Cari volumenya bila diputar mengelilingi sumbu x dan dibatasi oleh x = 0 dan x = 2

PEMBAHASAN :

Volume =

c. Gambar kurva f(x) = x² +5x – 5

2. Tentukan panjang kurva antara x = 3 dan x = 7

PEMBAHASAN :

Rumus panjang kurva =

^dy/_dx = 3x^1/2

Jadi :

Dimisalkan u = 1 + 9x => ^du/_dx = 9 => dx = ^du/₉

Maka :

Cara selanjutnya sama dengan aturan integral yang lain

3. Sebuah pegas mempunyai panjang 12 inci dan apabila diperlukan gaya 5 pon untuk menarik dan menahannya sejauh 4 inci. Tentukan kerja yang diperlukan untuk menarik pegas itu sejauh 15 inci dari keadaan alami

PEMBAHASAN :

F(x) = kx

F(4) = 5 => k. 4 = 5

k = 1,25

Sehingga :

F(x) = 1,25 x

Bila pegas berada pada keadaan alami = 12 inci, maka perubahan panjang pegas =

15 – 12 = 3 inci. Sehingga kerja untuk meregangkan pegas adalah :

W =

4. Rumuskanlah f^-1(x); kemudian cocokkanlah bahwa f^-1(f(x)) = x dan bahwa f(f^-1(x)) = x untuk f(x) = 2x – 4. Gambarkan juga kurva f(x) dan f^-1(x)

PEMBAHASAN :

f(x) = 2x – 4

y = 2x – 4 => 2x = y + 4

x = ½ y + 2

f^-1(x) = ½ x + 2

f^-1(f(x)) = ½ f(x) + 2

= ½ (2x – 4) + 2

= x – 2 + 2

= x (terbukti bahwa f^-1(f(x)) = x)

f((f^-1x)) = 2 f^-1(x) – 4

= 2 (½x + 2) – 4

= x + 4 – 4

= x (terbukti bahwa f(f^-1(x)) = x)

Gambar Kurva :

f(x) = 2x - 4

5. =

PEMBAHASAN :

Integral di atas sesuai dengan rumus pada tabel integral no 17 :

Pembahasan Kuis Kalkulus 1

PEMBAHASAN KUIS KALKULUS 1

Dosen : Yusmia Widiastuti, SP, MM

1. Jika sin ( x + y ) = sin x cos y + sin y cos x, tentukan nilai sin ( x + y ) bila x = 120 dan y = 45

PEMBAHASAN :

Sin (120 + 45) = sin 120 cos 45 + sin 45 cos 120

= 0,25882

Jika secara langsung : sin (120 + 45) = sin 165 = 0,25882 (memiliki nilai yang sama)

1. Jika f(x) = 2x – 1, g(x) = 5x, h(x) = 6x + 3, tentukan (f ¡ g)(x)

PEMBAHASAN :

(f ¡ g)(x) = f(g(x))

= 2 (g(x)) – 1

= 2 (5x) – 1

= 10x - 1

2. Tentukan kekontinuan fungsi f(x) = 3x – 3 di x = 2

PEMBAHASAN :

Syarat kekontinuan :

1. = 3(2) – 3 = 6 – 3 = 3

2. f(2) = 3(2) – 3 = 6 – 3 = 3

3. nilai lim dan f(c) sama

Sehingga dapat disimpulkan bahwa fungsi f(x) = 3x – 3 kontinue x = 2

Gambar dari f(x) = 3x - 3

3. Jika f(x) = 2x³ – 5x², g(x) = 6x², tentukan f(x) . g(x)

PEMBAHASAN :

f(x) = 2x³ – 5x² ® f ’(x) = 6x² - 10x

g(x) = 6x² ® g ‘ (x) = 12x

f(x) . g(x) = f ’(x) . g(x) + f(x) . g ‘ (x)

= (6x² - 10x) (6x²) + (2x³ – 5x²) (12x)

= 36 x⁴ - 60 x³ + 24x⁴ - 60x³

= (36 + 24) x⁴ + (-60 – 60) x³

= 60 x⁴ - 120 x³

4. Tentukan turunan dari y = (5x³ – 6x²)¹⁹⁸

PEMBAHASAN :

Misal : u = 5x³ – 6x²

⁼ 15x² – 12x

Turunan dari y = (5x³ – 6x²)¹⁹⁸ disimbolkan dengan

Sesuai ATURAN RANTAI, turunan tersebut menjadi :

y = (u)¹⁹⁸

Sehingga, turunan dari y = (5x³ – 6x²)¹⁹⁸

5. Selesaikan sesederhana mungkin :

PEMBAHASAN :

6. Nyatakan himpunan penyelesaiaan dari ketaksamaan yang diberikan dan sketsakan grafiknya : 3x² - 11 x – 4 ³ 0

PEMBAHASAN :

3x² - 11 x – 4 ³ 0

( 3x - 1 ) ( x – 4 ) ³ 0

( 3x - 1 ) = 0 Þ x₁ =

( x – 4 ) = 0 Þ x₂ = 4

< 1/3

Grafik :

Himpunan Penyelesaian : { x | x < ¹/₃ , x > 4 }

7. Cari persamaan garis lurus yang melalui (2, 5) dan sejajar dengan persamaan yang gradiennya 3

PEMBAHASAN :

Karena sejajar, maka m₁ = m₂ = 3

y – y₁ = m (x – x₁)

y – 5 = 3 ( x – 2 )

y – 5 = 3x - 6

y = 3x - 6 + 5

y = 3x - 1